昨年末から、ガラケー（タッチパネルじゃない携帯）のうち、古いものが、使用できないサイトが増えてきているはずです。
「はず」ってのは、そんな事しらべてないし、調べるつもりもないのですが
下記に、各キャリアの発表へのリンクを貼ります。
自分の持ってる機種がこの中で、「影響を受ける機種」にはいっていれば、それは、「SSLが使えない機種」という意味です。
docomo: サーバ証明書の切り替えによるドコモ ケータイへの影響について
KDDI: <重要なお知らせ> auケータイをご利用のお客さまへ、サーバ証明書切り替えによる影響について
SoftBank: SoftBank 3G（携帯電話）をご利用のお客さまへ サーバ証明書切り替えによる影響のご案内
Y!mobile(旧wilcom) Y!mobile ケータイをお使いのお客さまへ ～サーバ証明書切り替えによる影響について～
簡単に理由を説明すると、
SSLという暗号化通信に必要な、証明書の形式が、SHA2のみになり、これに非対応の端末は使えなくなる。
という事です。
このため、サイトによっての考え方の違いで、影響の度合いは変わります。
SHA2非対応端末は、全面的に使用不可にする。
SHA2非対応端末は、非暗号化の部分だけ使用可能にする。
SHA2非対応端末は、暗号化を使わない。SHA2対応端末は暗号化を使う
この３タイプになると思われます。
ただ、ガラケーの場合、端末とキャリアの電波区間は、そもそも暗号化されていますので電波の盗聴はできません。
なので、SHA2非対応端末が、暗号化を使用しないとしても、それほどリスキーな事ではないと考えます。
ややこしくなるので、ここでは説明しませんが
Andoridのスマートフォンの古い機種では、やはりSHA2に非対応のものがあります
これらの端末を、WIFI経由でクレジットカードの番号いれたり、個人情報のやりとりをするのはやめましょう、WIFIの電波区間は盗聴可能なのです。
いずれにしても古いものはいろんなところにセキュリティ上に問題があるので
キャリアの陰謀とは考えずに、新しい端末に買い換えた方が幸せになります。